Как понять, почему «плюс» на «минус» дает «минус» ?
Слушая учителя математики, большинство учеников воспринимают материал как аксиому. При этом мало кто пытается добраться до сути и разобраться, почему «минус» на «плюс» дает знак «минус», а при умножении двух отрицательных чисел выходит положительное.
Законы математики
Большинство взрослых не в силах объяснить ни себе, ни своим детям, почему так получается. Они твердо усвоили этот материал в школе, но при этом даже не попытались выяснить, откуда взялись такие правила. А зря. Зачастую современные дети не столь доверчивы, им необходимо докопаться до самой сути и понять, скажем, почему «плюс» на «минус» дает «минус». А иногда сорванцы специально задают каверзные вопросы, дабы насладиться моментом, когда взрослые не могут дать вразумительного ответа. И совсем уж беда, если впросак попадает молодой учитель…
Кстати, следует отметить, что упомянутое выше правило действенно как для умножения, так и для деления. Произведение отрицательного и положительного числа даст лишь «минус. Если речь идет о двух цифрах со знаком «-», то в результате получится положительное число. То же касается и деления. Если одно из чисел будет отрицательным, то частное тоже будет со знаком «-».
Для объяснения правильности этого закона математики, необходимо сформулировать аксиомы кольца. Но для начала следует понять, что это такое. В математике кольцом принято называть множество, в котором задействованы две операции с двумя элементами. Но разбираться с этим лучше на примере.
Аксиома кольца
Существует несколько математических законов.
- Первый из них переместительный, согласно ему, C + V = V + C.
- Второй называется сочетательным (V + C) + D = V + (C + D).
Им же подчиняется и умножение (V х C) х D = V х (C х D).
Никто не отменял и правил, по которым открываются скобки (V + C) х D = V х D + C х D, также верно, что C х (V + D) = C х V + C х D.
Кроме того, установлено, что в кольцо можно ввести специальный, нейтральный по сложению элемент, при использовании которого будет верно следующее: C + 0 = C. Кроме того, для каждого C есть противоположный элемент, который можно обозначить, как (-C). При этом C + (-C) = 0.
Выведение аксиом для отрицательных чисел
Приняв приведенные выше утверждения, можно ответить на вопрос: «»Плюс» на «минус» дает какой знак?» Зная аксиому про умножение отрицательных чисел, необходимо подтвердить, что действительно (-C) х V = -(C х V). А также, что верно такое равенство: (-(-C)) = C.
Для этого придется вначале доказать, что у каждого из элементов существует лишь один ему противоположный «собрат». Рассмотрим следующий пример доказательства. Давайте попробуем представить, что для C противоположными являются два числа — V и D. Из этого следует, что C + V = 0 и C + D = 0, то есть C + V = 0 = C + D. Вспоминая о переместительных законах и о свойствах числа 0, можно рассмотреть сумму всех трех чисел: C, V и D. Попробуем выяснить значение V. Логично, что V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, ведь значение C + D, как было принято выше, равняется 0. Значит, V = V + C + D.
Точно так же выводится и значение для D: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Исходя из этого, становится ясно, что V = D.
Для того чтобы понять, почему все же «плюс» на «минус» дает «минус», необходимо разобраться со следующим. Так, для элемента (-C) противоположными являются C и (-(-C)), то есть между собой они равны.
Тогда очевидно, что 0 х V = (C + (-C)) х V = C х V + (-C) х V. Из этого следует, что C х V противоположно (-)C х V, значит, (-C) х V = -(C х V).
Для полной математической строгости необходимо еще подтвердить, что 0 х V = 0 для любого элемента. Если следовать логике, то 0 х V = (0 + 0) х V = 0 х V + 0 х V. А это значит, что прибавление произведения 0 х V никак не меняет установленную сумму. Ведь это произведение равняется нулю.
Зная все эти аксиомы, можно вывести не только, сколько «плюс» на «минус» дает, но и что получается при умножении отрицательных чисел.
Умножение и деление двух чисел со знаком «-»
Если не углубляться в математические нюансы, то можно попробовать более простым способом объяснить правила действий с отрицательными числами.
Допустим, что C — (-V) = D, исходя из этого, C = D + (-V), то есть C = D — V. Переносим V и получаем, что C + V = D. То есть C + V = C — (-V). Этот пример объясняет, почему в выражении, где идут два «минуса» подряд, упомянутые знаки следует поменять на «плюс». Теперь разберемся с умножением.
(-C) х (-V) = D, в выражение можно добавить и вычесть два одинаковых произведения, которые не поменяют его значения: (-C) х (-V) + (C х V) — (C х V) = D.
Вспомная о правилах работы со скобками, получаем:
1) (-C) х (-V) + (C х V) + (-C) х V = D;
2) (-C) х ((-V) + V) + C х V = D;
3) (-C) х 0 + C х V = D;
4) C х V = D.
Из этого следует, что C х V = (-C) х (-V).
Аналогично можно доказать, что и в результате деления двух отрицательных чисел выйдет положительное.
Общие математические правила
Конечно, такое объяснение не подойдет для школьников младших классов, которые только начинают учить абстрактные отрицательные числа. Им лучше объяснять на видимых предметах, манипулируя знакомым им термином зазеркалья. Например, придуманные, но не существующие игрушки находятся именно там. Их и можно отобразить со знаком «-». Умножение двух зазеркальных объектов переносит их в еще один мир, который приравнивается к настоящему, то есть в результате мы имеем положительные числа. А вот умножение абстрактного отрицательного числа на положительное лишь дает знакомый всем результат. Ведь «плюс» умножить на «минус» дает «минус». Правда, в младшем школьном возрасте дети не слишком-то пытаются вникнуть во все математические нюансы.
Хотя, если смотреть правде в глаза, для многих людей даже с высшим образованием так и остаются загадкой многие правила. Все принимают как данность то, что преподают им учителя, не затрудняясь вникать во все сложности, которые таит в себе математика. «Минус» на «минус» дает «плюс» – об этом знают все без исключения. Это верно как для целых, так и для дробных чисел.
fb.ru
Почему минус на минус дает плюс? | UpByte.Net
Как известно, уже в школе всем говорят, что минус на минус дает плюс. Можно даже привести примеры: $$x-(-y)=x+y; (-x)\cdot (-y)=x\cdot y; -x/\left(-y \right)=x/y$$ Но самое интересное в другом. Если у кого угодно спросить а почему так, то мало кто сможет ответить. Вам скажут — так принято или так должно быть по правилам. А ответить почему такие правила и откуда они появились еще труднее. И даже если задать такой же вопрос в поисковой системе, то можно прочитать все что угодно, начиная с дурацких примеров и заканчивая попытками объяснения из области теории групп. Ну как школьнику или даже студенту можно объяснить что такое кольца из теории групп? Поэтому требуется нормальное объяснение, основанное на понятных и легко проверяемых понятиях и правилах. Как оказалось, это можно сделать фактически в одну строку. Смотрите выкладки: $$A-(-B)=X\Rightarrow A=X+(-B)\Rightarrow A=X-B\Rightarrow A+B=X\Rightarrow A-(-B)=A+B$$ Тут тоже могут возникать вопросы: «Почему при переносе слагаемого меняется знак на противоположный?» Ответ будет такой: «Мы ничего никуда не переносим, а просто добавляем в левую и правую части выражения одну и ту же величину»: $$A-(-B)=X\Rightarrow A-\left(-B \right)+(-B)=X+(-B)$$ А вот теперь обозначим: $$-B=Z$$ и после подстановки все становится очевидным: $$A-Z=X\Rightarrow A-Z+Z=X+Z\Rightarrow A=X+Z$$ Теперь осталось вернуться к старой (заменной переменной), используя выражение: $$-B=Z$$ И в результате получим, что при «переносе вправо слагаемого его знак поменялся на противоположный»: $$ A=X-B$$ Вот и все преобразования, объясняющие почему если в выражении идет два минуса подряд, то в итоге их надо заменить на плюс. Теперь займемся случаем умножения двух отрицательных чисел. $$(-A)\cdot (-B)=X\Rightarrow (-A)\cdot (-B)+\left(A\cdot B \right)-\left(A\cdot B \right)=X\Rightarrow …$$ $$… \Rightarrow (-A)\cdot (-B)+\left(A\cdot B \right)+ \left(-A \right) \cdot B=X\Rightarrow …$$ $$…\Rightarrow \left(-A \right)\left[\left(-B \right)+B \right]+A\cdot B=X\Rightarrow \left(-A\ \right) \cdot 0+A\cdot B=X\Rightarrow A\cdot B=X$$ Теперь осталось приравнять, с одной стороны: $$\left(-A \right)\cdot \left(-B \right)=X$$ а с другой стороны: $$A \cdot B =X$$ Тогда, окончательно: $$\left(-A \right)\cdot \left(-B \right)=A \cdot B$$ Как вам понятно, с делением двух отрицательных чисел уже не возникает проблем, так как операцию деления можно легко заменить операцией умножения на обратное. Остается выяснить почему минус из знаменателя можно поднимать в числитель. Один из вариантов: $$\frac{1}{-A}=\frac{1\cdot \left(-1 \right)}{-A\cdot \left(-1 \right)}=\frac{-1}{A}$$ Предлагаем все высказываться в комментариях, если что кому не понравилось. Эта статья подготовлена студенческой лабораторией для любознательных школьников и их учителей.© Studlab.com
upbyte.net
Минус на минус дает плюс. Почему?
Как известно, уже в школе всем говорят, что минус на минус дает плюс. Можно даже привести примеры:
studlab.com
Минус на минус даёт плюс. А почему?
Минус на минус даёт плюс – это правило, которые мы выучили в школе и применяем всю жизнь. А кто из нас интересовался почему? Конечно, проще без лишних вопросов запомнить данное утверждение и глубоко не вникать в суть вопроса. Сейчас и без того достаточно информации, которую необходимо «переварить». Но для тех, кого всё же заинтересует этот вопрос, постараемся дать объяснение этому математическому явлению.
С древних времён люди пользуются положительными натуральными числами: 1, 2, 3, 4, 5,… С помощью чисел считали скот, урожай, врагов и т.д. При сложении и умножении двух положительных чисел получали всегда положительное число, при делении одних величин на другие не всегда получали натуральные числа – так появились дробные числа. Что же с вычитанием? С детских лет мы знаем, что лучше к большему прибавить меньшее и из большего вычесть меньшее, при этом мы опять же не используем отрицательные числа. Получается, если у меня есть 10 яблок, я могу отдать кому-то только меньше 10 или 10. Я никак не смогу отдать 13 яблок, потому что у меня их нет. Нужды в отрицательных числах не было долгое время.
Только с VII века н.э. отрицательные числа использовались в некоторых счётных системах, как вспомогательные величины, которые позволяли получить положительное число в ответе.
Рассмотрим пример, 6х – 30 = 3х – 9. Чтобы найти ответ, необходимо члены с неизвестными оставить в левой части, а остальные — в правую: 6х – 3х = 30 – 9, 3х = 21, х = 7. При решении этого уравнения нам даже не встретились отрицательные числа. Мы могли бы члены с неизвестными перенести в правую часть, а без неизвестных — в левую: 9 – 30 = 3х – 6х, (-21) = (-3х). При деление отрицательного числа на отрицательное получаем положительный ответ: х = 7.
Что мы видим?
Действия с использованием отрицательных чисел должны привести нас к такому же ответу, что и действия только с положительными числами. Мы можем больше не думать о практической непригодности и осмысленности действий – они помогают нам решить задачу гораздо быстрее, не приводя уравнение к виду только с положительными числами. В нашем примере мы не использовали сложных вычислений, но при большом количестве слагаемых вычисления с отрицательными числами могут облегчить нам работу.
Со временем, после проведения длительных опытов и вычислений удалось выявить правила, которым подчиняются все числа и действия над ними (в математике они называются аксиомами). Отсюда и появилась аксиома, которая утверждает, что при умножении двух отрицательных чисел получаем положительное.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Почему минус на минус дает плюс?
«Враг моего врага — мой друг».
Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.
Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, … Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.
Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.
В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).
Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2. Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.
Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5). Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3.
Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.
Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.
Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции… Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).
В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.
Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.
Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:
- сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A)), что A + (–A) = 0;
- умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
- сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C.
Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.
Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B), а во-вторых (–(–A)) = A. Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.
Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Рассмотрим сумму A + B + C. Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значит, B = C.
Заметим теперь, что и A, и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A), поэтому они должны быть равны.
Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B, то есть (–A)·B противоположно A·B, значит, оно равно –(A·B).
Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.
А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.
Ответил: Евгений Епифанов
elementy.ru
Сергей Драгни — Минус на минус (минус #2)
(1К) Ты любишь чёрное, я - белое. Я трус, ты смелая. Я слишком опытен в любви, ты слишком неумелая. Ведь мы не гордые, но первый шаг не делаем. Почему? Ответ прост: ты любишь чёрное я белое. Мои глаза зелёные, увы не карие. Поверь я тоже человек, хоть и не бывал в Италии. Я ненормальный псих, но за то я помню точно: Ты Любишь Альпен гольд клубничный, а я молочный. Ты любишь чёрное, я - белое. Я трус, ты смелая. Я постоянно позади, ты постоянно первая. Я чересчур себя жалею, ты не можешь слушать. Я всё могу сломать, но и ты умеешь рушить. Ты хорошо воспитана, а я какой-то трудный. Мои друзья бандиты, твои подруги куклы. Мне нравится на севере, ты хочешь жить на юге. Мой брат мешает жить твоей лучшей подруге. Чтобы меня разлюбить, чтоб я казался гадким, Ты на листке писала все мои недостатки. А я люблю в тебе всё: губы, глаза, ресницы, И даже твои странные неровные мизинцы. (П) Минус на минус - плюс, я клянусь, мы с тобой идеальная пара. Ты любишь радость, я люблю грусть, значит зачем-то так надо. Минус на минус - плюс, на всю жизнь, не потушить на пожара. Ведь от судьбы не убежишь, ты сама так сказала. (2К) Я пламя, ты - вода, ты однолюбка, я бабник. Там где всегда вода, ты океан, я Титаник. Ты любишь прямо всё, а я безнадёжный романтик. Я тоже человек, хоть и не бывал на Мальте. Я не ценю доброты, ты не ценишь заботу. Я остался в России, ты уехала в Европу. Ты живёшь в надёжности, а я живу в риске. Я люблю искусство, ты любишь английский. Не выйдет ничего? Что ж, мне даже не жаль. Вряд ли другой будет любить ходить с тобой в Летуаль. Я мечтаю о сцене, ты о журнальной обложке, Но в мире могут жить даже собака с кошкой. Может и глупо начинать всё сотый раз сначала, Но я всегда буду рядом у твоего причала. Я учился не очень и алгербу не люблю, Но Валентина Григорьевна сказала: что минус на минус плюс. \"Элементарная математика\". Припев. (3К) Оно пылает пламенем неугасным так сильно, Будто облито тысячами литров керосина. Да, было. Я признаю это, и наплевать мне. Мои воспоминания в прошлом, где-то во тьме. Припев.
x-minus.me
Почему минус на минус дает плюс? — Альтернативный взгляд Salik.biz
1) Почему минус один умножить на минус один равно плюс один?
2) Почему минус один умножить на плюс один равно минус один?
Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.
Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3,… Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.
Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.
В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).
Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2. Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.
Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5). Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3.
Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.
Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.
Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции… Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).
В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.
Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.
Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:
— сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A)), что A + (–A) = 0;
— умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
— сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C.
Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.
Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B), а во-вторых (–(–A)) = A. Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.
Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Рассмотрим сумму A + B + C. Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значит, B = C.
Заметим теперь, что и A, и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A), поэтому они должны быть равны.
Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B, то есть (–A)·B противоположно A·B, значит, оно равно –(A·B).
Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.
А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.
Евгений Епифанов
salik.biz
Оставить комментарий